News Espaces préhilbertien réels : Orthogonalité.
(Catégorie SPE)
Posté par Mohamed
mercredi 01 août 2012 - 02:15:01

Dans tout ce qui suit, est un espace préhilbertien réel. Le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté :
deux vecteurs et sont orthogonaux si
Soit une partie non vide de . L'orthogonal de est
On a : est un sous-espace vectoriel de et
Si est un sou-espace vectoriel de , alors . On dit que admet un supplémentaire orthogonal
si :
Procédé de Gram-Schmidt : Si ( ) est une famille libre de alors il existe une et une seule famille orthonormée tel que : pour tout on aie : et .

Théorème : Si est de dimension finie alors , donc admet un supplémentaire orthogonal.

Soit un sou-espace vectoriel de admettant un supplémentaire orthogonal. La projection de sur parallèlement à s'appelle la projection orthogonal de sur . Notons la : . Pour tout , on a :

Si est de dimension finie no nulle et une base orthonormale de (qui existe d'après Gram-Schmidt) alors on a :



Cet item a été imprimée depuis le site CPGE MAROC SECTION TSI
( http://www.tsimaths.com/tsimaths/news.php?extend.3 )