News Algébre linéaire en spé TSI : Familles génératrices, libres, liées et bases.
(Catégorie SPE)
Posté par Mohamed
mardi 24 juillet 2012 - 02:25:48

Dans tout ce qui suit designe l'un des corps des nombres réels ou des nombres complexes.

1) Du fini à l'infini

En sup on parle de famille génératrice, libre liée et des bases. On fait ça pour des familles finies. On peut faire la synthése suivante : Une base d'un espace vectoriel est une famille génératrice minimale et une famille libre maximale (au sens de l'inclusion).
En Spé TSI, figure ces notions pour des familles quelconques de vecteurs d'un espace vectoriel.
Soit un espcae vectoriel et soit un ensemble non vide. Une application de vers est appelée famille de vecteurs de E , notée . Une famille est dite génératrice si tout vecteur peut s'écrire : est une partie finie de et les sont des scalaires. Cette famille est libre si toute sous-famille est une partie finie de est libre. Dans le cas particulier où , on peut démontrer facilement que la famille est libre si et seulement si pour tout et toute famille de scalaires , on a :

2) Des exemples:

Par exemple , si est l'espace vectoriel réel des applications continues de vers lui même et si, pour tout , on pose alors la famille est libre car pour tout et toute famille de scalaires, si on suppose que alors tous les son nuls car sinon soit le plus grand tel que alors on voit qu'au voisinage de , on a , ce qui est absurde car
Un deuxiéme exemple : le même espace vectoriel et . Pour le démontrer on peut remarquer que pour tout tel que et si et si

3) Liberté et orthogonalité:

Lorsqu'on fera les espaces préhilbertiens réels on verra que toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre : une des techniques pour prouver qu'une famille est libre.
En particulier, toute famille orthonormale est libre.

4) Familles libres de vecteurs propres :

Au chapitre sur la réduction des endomorphismes, on verra que toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est une famille libre, comme ça si on considére les ci-deesus comme des vecteurs de l'espace vectoriel des applications infiniment dérivables de vers lui même, ils sont des vecteurs propres de l'endomorphisme de tel que : , pour tout , assiciés aux valeurs propres qui sont deux à deux distinctes quand decrit

6) Familles libres de polynômes

Si est une famille de polynômes de tel que : pour tout alors la famille est une base de .
Une conséquence de ce théorème est : Soit une partie non vide de .Si est une famille de polynômes de de degrés distincts deux à deux , alors la famille est libre.



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