TSIMATHS
Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs: Section TSI.

Espaces préhilbertien réels : Orthogonalité.
01 août : 02:15  par Mohamed
Dans tout ce qui suit, est un espace préhilbertien réel. Le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté :
deux vecteurs et sont orthogonaux si
Soit une partie non vide de . L'orthogonal de est
On a : est un sous-espace vectoriel de et
Si est un sou-espace vectoriel de , alors . On dit que admet un supplémentaire orthogonal
si :
Procédé de Gram-Schmidt : Si ( ) est une famille libre de alors il existe une et une seule famille orthonormée tel que : pour tout on aie : et .

Théorème : Si est de dimension finie alors , donc admet un supplémentaire orthogonal.

Soit un sou-espace vectoriel de admettant un supplémentaire orthogonal. La projection de sur parallèlement à s'appelle la projection orthogonal de sur . Notons la : . Pour tout , on a :

Si est de dimension finie no nulle et une base orthonormale de (qui existe d'après Gram-Schmidt) alors on a :
Algébre linéaire en spé TSI : Familles génératrices, libres, liées et bases.
24 juil. : 02:25  par Mohamed
Dans tout ce qui suit designe l'un des corps des nombres réels ou des nombres complexes.

1) Du fini à l'infini

En sup on parle de famille génératrice, libre liée et des bases. On fait ça pour des familles finies. On peut faire la synthése suivante : Une base d'un espace vectoriel est une famille génératrice minimale et une famille libre maximale (au sens de l'inclusion).
En Spé TSI, figure ces notions pour des familles quelconques de vecteurs d'un espace vectoriel.
Soit un espcae vectoriel et soit un ensemble non vide. Une application de vers est appelée famille de vecteurs de E , notée . Une famille est dite génératrice si tout vecteur peut s'écrire : est une partie finie de et les sont des scalaires. Cette famille est libre si toute sous-famille est une partie finie de est libre. Dans le cas particulier où , on peut démontrer facilement que la famille est libre si et seulement si pour tout et toute famille de scalaires , on a :

2) Des exemples:

Par exemple , si est l'espace vectoriel réel des applications continues de vers lui même et si, pour tout , on pose alors la famille est libre car pour tout et toute famille de scalaires, si on suppose que alors tous les son nuls car sinon soit le plus grand tel que alors on voit qu'au voisinage de , on a , ce qui est absurde car
Un deuxiéme exemple : le même espace vectoriel et . Pour le démontrer on peut remarquer que pour tout tel que et si et si

3) Liberté et orthogonalité:

Lorsqu'on fera les espaces préhilbertiens réels on verra que toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre : une des techniques pour prouver qu'une famille est libre.
En particulier, toute famille orthonormale est libre.

4) Familles libres de vecteurs propres :

Au chapitre sur la réduction des endomorphismes, on verra que toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est une famille libre, comme ça si on considére les ci-deesus comme des vecteurs de l'espace vectoriel des applications infiniment dérivables de vers lui même, ils sont des vecteurs propres de l'endomorphisme de tel que : , pour tout , assiciés aux valeurs propres qui sont deux à deux distinctes quand decrit

6) Familles libres de polynômes

Si est une famille de polynômes de tel que : pour tout alors la famille est une base de .
Une conséquence de ce théorème est : Soit une partie non vide de .Si est une famille de polynômes de de degrés distincts deux à deux , alors la famille est libre.
Que faire pendant les vacances d'été ?
20 juil. : 02:01  par Mohamed
Les élèves se posent toujours la question sur ce qu'il faut faire pendant l'été. Je parle des élèves qui passent en deuxième année TSI (maths spéciales). Certains pensent à reviser le programme de première année et d'autre pensent à préparer le programme de deuxième anné et souvent la décision n'est pas facile à prendre. D'autres élèves d'ailleurs espérent faire les deux choses en même temps.
Quand ils commencent à travailler, ils sentent en général qu'ils ne peuvent pas résister à travailler travailler seul , c'est pour cela qu'ils recourent à des solutions comme: faire des stages dans des écoles privées qui ouvrent leur locaux pendant l'été pour ces fins , chercher des professeurs qui peuvent les aider ou travailler en groupe.
Personnelement je préfére que les élèves réveisent leurs cours à travers un grand nombre de problèmes et d'exercices qui leur permetteront de visiter une grande partie de leurs cours: Le temps ne suffit pas pendant l'année scolaire de la première année à faire suffisamment d'exercices et à approfondir suffisamment la compréhension des concepts. Les vacances d'été constituent une occasion pour récupérer, et tout en travaillant les exercices il faut chque fois que cela se permet saisir l'occasion pour fixer davantage des points de son cours.
maitlhoussain@gmail.com: Enseignant de mathématiques aux CPGE, Centre Salmane Al Farissi, Salé, Maroc.