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Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs: Section TSI.

Espaces préhilbertien réels : Orthogonalité.
01 août : 02:15  par Mohamed
Dans tout ce qui suit, est un espace préhilbertien réel. Le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté :
deux vecteurs et sont orthogonaux si
Soit une partie non vide de . L'orthogonal de est
On a : est un sous-espace vectoriel de et
Si est un sou-espace vectoriel de , alors . On dit que admet un supplémentaire orthogonal
si :
Procédé de Gram-Schmidt : Si ( ) est une famille libre de alors il existe une et une seule famille orthonormée tel que : pour tout on aie : et .

Théorème : Si est de dimension finie alors , donc admet un supplémentaire orthogonal.

Soit un sou-espace vectoriel de admettant un supplémentaire orthogonal. La projection de sur parallèlement à s'appelle la projection orthogonal de sur . Notons la : . Pour tout , on a :

Si est de dimension finie no nulle et une base orthonormale de (qui existe d'après Gram-Schmidt) alors on a :

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maitlhoussain@gmail.com: Enseignant de mathématiques aux CPGE, Centre Salmane Al Farissi, Salé, Maroc.