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Matrice de Gram

25 février 2011 - Dernier ajout 26 février 2011
par Mohamed

Soit E un EPHR.
Soit B=(u_j)_{1 \leq j \leq p} une famille de vecteurs de E La matrice G=(g_{ij}) avec g_{ij} = \langle u_i|u_j \rangle pour tout i,j \in \{1,...,p\} est une matrice acrrée de taille p appelée matrice de Gram de la famille B.

Proposition
Le rang de G est égal au rang de la famille B
Preuve
Soit F =Vect \{u_1,...,u_p \} et n= \dim  F et soit alors (e_1,...,e_n) une base orthonormale de F. Soit A la matrice de M_{n,p}(I\!\!R) dont les termes a_{ij} sont définis par u_j= \sum_{i=1}^n a_{ij} e_i. Il est clair que rg(A)=n car le rang de la famille de ses colonnes est n. On peut facilement voir que G=^tAA en effet : gà{kl} = \langle u_k| u_l \rangle = \sum_{i=1}^n a_{ik} a_{il} qui est la terme (^tAA)_{kl}.
Lemme
Pour toute matrice A \in M_{np} on a rg(^tAA)=rg (A)
Preuve
On a rg (^tAA)  \leq rg A car pour toute colonne X de taille (n,1) on a si AX=O alors ^tAAX=O donc \ker A   \subset  \ker (^tAA) et par le théorème du rang, on a le résultat. Réciproquement si ^tAAX=O alors ^tX^tAAX=0 donc ||AX||=0 et alors AX=O. Ainsi les rang de A et de ^tAA sont égaux.
Ceci termine la preuve de la proposition.
  •  Remarquons tout de suite que si la famille (u_1,...,u_p) est liée alors la rang de la matrice de Gram est strictement inferieur à sa taille et par suite elle n’est pas inversible et alors \det G=0.
    Si par contre la famille (u_1,...,u_p) est libre alors F = Vect\{u_1,...,u_p\} est de dimension p et par suite la matrice A est une matrice carée inversible, et comme G=^tAA on a alors \det G = (\det A)^2 >0.
  •  Résumé : Si la famille (u_1,...,u_n) est liée alors \det G=0 et si cette famille est libre alors \det G >0.
    Théoème
    Soit (E,\langle|\rangle) un espace préhilbertien réel et soit F un sous(espace vectoriel de E engendré par p vecteurs lin"aiarement indépendants u_1,...,u_p avec p un entier naturel non nul. Alors, pour tout x \in E on a :

    d(x,F) = \sqrt{\frac{|G(u_1,...,u_p,x)|}{|G(u_1,...,u_p)|}}

    |G(u_1,...,u_p)| désigne le détérminant de la matrice de Gram des vecteurs u_1,...,u_p (appelé determinant de Gram).

    Preuve
    Soit \pi la projection othogonale de E sur F et n=x-\pi(x). On sait déjà que d(x,F)=||n||
  •  On a :

    |G(u_1,...,u_p,x)|=\left|\begin{array}{ccc}\langle u_1|u_1\rangle & \cdots & \langle u_1|x \rangle \\ \vdots&\vdots& \vdots \\ \langle x|u_1\rangle & \cdots & \langle x|x \rangle \end{array} \right|


  •  Remarquons que pour tout vecteur y \in F on a :

    \langle y| x \rangle = \langle y | x' \rangle

    x' =\pi(x) et que :

    ||x||^2 = ||x'||^2 + ||n||^2

    , de sorte que le determinant ci-dessus vaut :

    |G(u_1,...,u_p,x)|=\left|\begin{array}{ccc}\langle u_1|u_1\rangle & \cdots & \langle u_1|x' \rangle \\ \vdots&\vdots& \vdots \\ \langle x|u_1\rangle & \cdots & \langle x'|x' \rangle \end{array} \right| + \left|\begin{array}{ccc}\langle u_1|u_1\rangle & \cdots & 0\\ \vdots&\vdots& \vdots \\ \langle x|u_1\rangle & \cdots & ||n||^2 \end{array} \right|

    Alors

    |G(u_1,...,u_p,x)|=|G(u_1,...,u_p,x')|+ ||n||^2 |G(u_1,...,u_p)|

    et comme x' \in F on a : |G(u_1,...,u_p,x')|=0 Ainsi on a la formule désirée


  • calle

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